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Grafite por:Carlos Eduardo - 8ª B - EE. Prof. Abilio Fontes - Itapetininga - SP - Ano 2010

quarta-feira, 19 de maio de 2010

Notação Científica - Transformações

Para transformar um número qualquer para a notação científica padronizada devemos deslocar a vírgula obedecendo ao princípio de equilíbrio.
Vejamos o exemplo abaixo:
253.756,42
A notação científica padronizada exige que a mantissa (coeficiente) esteja entre 1 e 10. Nessa situação, o valor adequado seria 2,5375642 (observe que a sequência de algarismos é a mesma, somente foi alterada a posição da vírgula). Para o expoente, vale o princípio de equilíbrio: "Cada casa decimal que diminui o valor da mantissa aumenta o expoente em uma unidade, e vice-versa".
Nesse caso, o expoente é 5.
Observe a transformação passo a passo:












1 mol de moléculas tem 6,02 × 1023 moléculas.
Um outro exemplo, com valor menor que 1:
0,0000000475
0,000000475 × 10−1
0,00000475 × 10−2
0,0000475 × 10−3
0,000475 × 10−4
0,00475 × 10−5
0,0475 × 10−6
0,475 × 10−7

 4,75 × 10−8

Desse modo, os exemplos acima ficarão:
 








 

Ordem de Grandeza na Notação Científica

A notação científica permite também mais simples comparações entre ordens de grandeza. A massa de um próton é 0.000 000 000 000 000 000 000 000 001 672 6 kg. Se isto é escrito como 1.6726×10−27 kg, é mais comparar essa massa com a do elétron, acima. A ordem de grandeza da relação entre as massas podem ser obtidas os expoentes em vez de ter de contar os zeros à esquerda, tarefa propensa a erros. Nesse caso, '−27' é maior do que '−31' e, portanto, o próton é aproximadamente quatro ordens de grandeza, (cerca de 10 000 vezes) mais maciço que o elétron. A notação científica também evita mal-entendidos, devido às diferenças regionais em certos quantificadores, tal como 'bilhão', o que pode indicar tanto 109 ou 1012

Tipos de Notação Científica

Na notação científica normalizada, o expoente e é escolhido tal que o valor absoluto de m permaneça pelo menos um, mas menos de dez (1 ≤ | m | <10). Por exemplo, 350 é escrito como 3,5 . 102. Esta forma permite uma comparação simples dos dois números do mesmo sinal em m, como o expoente e indica o número da ordem de grandeza. Na notação normalizada o expoente e é negativo para um número absoluto com valor entre 0 e 1 (por exemplo, menos de metade é -5 . 10−1). O 10 e o expoente são geralmente omitidos quando o expoente é 0.
Em muitas áreas, a notação científica é normalizada desta forma, exceto durante cálculos intermediários, ou quando uma forma não-normalizada, como a notação de engenharia, é desejada. A notação científica (normalizada) é muitas vezes chamada notação exponencial - embora este último termo é mais geral e também se aplica quando m não está restrito ao intervalo de 1 a 10 (como na notação de engenharia, por exemplo) e para outras bases do que 10 (como em 315 . 220).

Notação E

                              Muitas calculadoras e programas de computadores apresentam em notação científica os resultados muito grandes ou muito pequenos. Como os expoentes sobrescritos como 107 não podem ser convenientemente representados nos e pelos computadores, máquinas de escrever e em calculadoras, um formato alternativo é muitas vezes utilizado: a letra "E" ou "e" representa "vezes dez elevado à potência", repondo então o " × 10n". O carácter "e" não está relacionado com a constante matemática e (uma confusão não possível quando utilizado a letra maiúscula "E"); e embora represente um exponente, a notação é usualmente referida como (científica) notação E ou (científica) notação E, em vez de(científica) notação exponencial(embora esta última também possa ocorrer).

Exemplos

  • Na linguagem de programação FORTRAN 6.0221415E23 é equivalente a 6.022 141 5×1023.
  • A linguagem de programação ALGOL 60 usa um subscrito dez, em vez da letra E, por exemplo 6.02214151023. ALGOL 68 também permite minúsculas E, por exemplo 6.0221415e23.
  • Na linguagem de programação ALGOL 68 tem a opção de 4 caracteres em (eE\⏨). Exemplos: 6.0221415e23, 6.0221415E23, 6.0221415\23 ou 6.0221415⏨23.
  • Na linguagem de programação Simula é requerido o uso de & (ou && para longos), por exemplo: 6.0221415&23 (ou 6.0221415&&23).


Notação científica é uma forma muito conveniente para escrever pequenos ou grandes números e fazer cálculos com eles. Também transmite rapidamente duas propriedades de uma medida que são úteis para os cientistas, algarismos significativos e ordem de grandeza. Escrita em notação científica permite a uma pessoa eliminar zeros na frente ou de trás dos dígitos significativos. Isto é mais útil para medições muito grandes ou muito pequenas em astronomia e no estudo de moléculas. Os exemplos abaixo podem demonstrar isso.

Exemplos

  • A massa de um elétron é de cerca de 0.000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 910 938 22 kg. Na notação científica, isto é escrito 9.109 382 2×10-31 kg.
  • A massa da Terra é de cerca de 5 973 600 000 000 000 000 000 000 kg. Na notação científica, esse valor é representado por 5,9736 . 1024 kg.
  • A circunferência da Terra é de aproximadamente 40 000 000 m. Em notação científica fica 4×107 m. Em notação de engenharia, é de 40 ×106 m. No estilo de representação do SI, pode ser escrita 40 Mm (40 megametro).

Algarismo significativo

Uma vantagem da notação científica é que ela reduz a ambiguidade do número de dígitos significativos. Todos os dígitos em notação científica normalizada são significativos por convenção. Mas, em notação decimal qualquer zero ou uma série de zeros ao lado do ponto decimal são ambíguos, e pode ou não indicar números significativos (quando eles devem ser sublinhados para deixar explicito que eles são zeros significativos). Em uma notação decimal, zeros ao lado do ponto decimal não são, necessariamente, um número significativo. Ou seja, eles podem estar ali apenas para mostrar onde se localiza o ponto decimal. Em notação científica, contudo, essa ambiguidade é resolvida, porque os zeros mostrados são considerados significativos por convenção. Por exemplo, usando a notação científica, a velocidade da luz em unidades SI é 2,99792458×108 m/s e a eminência é 2,54×10−2 m; ambos os números são exatos, por definição, das unidades "inches" por centímetro e "metros" em termos da velocidade da luz. Nestes casos, todos os algarismos são significativos. Um único zero ou qualquer número de zeros pode ser acrescentado no lado direito para mostrar mais dígitos significativos, ou um único zero com uma barra no topo pode ser adicionado para mostrar infinitos dígitos significativos (assim como na notação decimal).

Ambiguidade do último dígito em notação científica

É habitual em medições científicas registrar todos os dígitos significativos a partir das medições, e supor um dígito adicional, se houver alguma informação a todos as disponíveis para o observador a fazer uma suposição. O número resultante é considerado mais valioso do que seria sem esse dígito extra, e é considerado um dígito significativo, pois contém algumas informações que conduzem a uma maior precisão nas medições e na agregação das medições (adicioná-los ou multiplicá-los).
Informações adicionais sobre a precisão pode ser transmitida através de notações adicionais. Em alguns casos, pode ser útil para saber qual é o último algarismo significativo. Por exemplo, o valor aceito da unidade de carga elementar pode ser validamente expresso como 1.602176487(40)×10−19 C, que é um atalho para 1.602176487±0.000000040×10−19 C.

    Notação Científica - Uma História

    A primeira tentativa conhecida de representar números demasiadamente extensos foi empreendida pelo matemático e filosofo grego Arquimedes, e descrita em sua obra O Contador de Areia, no século III a.C. Ele desenvolveu um método de representação numérica para estimar quantos grãos de areia existiam no universo. O número estimado por ele foi de 1 × 1063 grãos.
    Há quem pense, Rei Gelão, que o número de grãos de areia é infinito. E quando menciono areia refiro-me não só aquela que existe em Siracusa e no resto da Sicília mas também àquela que se encontra nas outras regiões, sejam elas habitadas ou desabitadas. Mais uma vez, há quem, sem considerá-lo infinito, pense que nenhum número foi ainda nomeado que seja suficientemente grande para exceder a sua multiplicidade. E é claro que aqueles que têm esta opinião, se imaginassem uma massa de areia tão grande como a massa da terra, incluindo nesta todos os mares e depressões da terra preenchidas até uma altura igual à mais alta das montanhas, estariam muito longe ainda de reconhecer que qualquer número poderia ser expresso de tal forma que excedesse a multiplicidade da areia aí existente. Mas eu tentarei mostrar-vos, através de provas geométricas que conseguireis acompanhar que, dos números nomeados por mim e que constam no trabalho que enviei a Zeuxipo, alguns excedem, não só o número da massa de areia igual em magnitude à da terra preenchida da maneira que atrás referi, mas também da massa igual em magnitude à do universo.
    O contador de areia (Arquimedes), pg. 1
    Foi através da notação científica que foi concebido o modelo de representação de números reais através de ponto flutuante. Essa ideia foi proposta independentemente por Leonardo Torres y Quevedo (1914), Konrad Zuse (1936) e George Robert Stibitz (1939). A codificação em ponto flutuante dos computadores atuais é basicamente uma notação científica de base 2.
    A programação com o uso de números em notação científica consagrou uma representação sem números sobrescritos, em que a letra e (ou E) separa a mantissa do expoente. Assim, 1,785 × 105 e 2,36 × 10−14 são representados respectivamente por 1.785E5 e 2.36E-14 (como a maioria das linguagens de programação são baseadas na língua inglesa, as vírgulas são substituídas por pontos).

    quarta-feira, 12 de maio de 2010

    Notação Científica - Demonstração

    Olá pessoal, este link irá remeter vocês a um mundo ligado a idéia de notação científica.
    Nos dá a idéia de macro e micro mundos.
    Pena que não temos os textos em português, somente em Inglês, Italiano, Francês e Alemão, mas dá para entender.
    Viagem...

    Abraços a todos!!

    http://microcosm.web.cern.ch/microcosm/p10/english/P2.html

    quarta-feira, 5 de maio de 2010

    Regra de Sinais - como funciona

    Regra de Sinais


                A grande maioria dos alunos erram em sinais e em frações, talvez porque não entenderam bem ou por não ter sido bem explicado, um dos casos, talvez, seja a maneira pela qual é apresentada a regra de sinais, que muitas vezes confundem o aluno: "mais com mais", etc. Apresentamos aqui, a mesma e velha regra de sinais tentando diminuir as chances de erros do aluno. Primeiro, vamos lembrar que o erro se dá no sinal, então devemos lembrá-los que antes de efetuar a conta eles devem obter qual será o sinal, após o qual deve calcular o resultado obedecendo a operação em questão.

                Primeiro devemos informar que não há necessidade de se "decorar" uma regra, pois podemos dizer que se temos por exemplo R$ 10,00 (dez reais) e recebemos mais R$ 5,00 (cinco reais), ficamos com R$ 15,00 (quinze reais); ou se devemos R$ 10,00 (dez reais) a alguém e devemos R$ 5,00  (cinco reais) a outra pessoa então devemos ao todo R$ 15,00 (quinze reais) (sinais iguais soma-se e repete o sinal); agora se temos os mesmos R$ 10,00 (dez reais) e gastamos R$ 5,00 (cinco reais) ficamos com R$ 5,00 (cinco reais); ou se temos R$ 5,00 (cinco reais) e devemos a alguém R$ 10,00 (dez reais), só podemos pagar o que temos, isto é, os R$ 5,00 (cinco reais), e ainda assim ficamos devendo R$ 5,00 (cinco reais) (sinais diferentes subtraí-se e dá o sinal do maior número em valor absoluto).
     
    NA ADIÇÃO:  Na adição, SINAIS IGUAIS somamos e repetimos o sinal e SINAIS DIFERENTES subtraímos e repetimos o sinal do maior valor absoluto, isto é, o sinal do número de maior valor. 
           
            Ex.:  Para sinais iguais:  
           (+4) + (+3) = +7;             (4) + (5) = 9;     ( com a adição explícita )
                      símbolo da adição ( + )    sinal negativo (   )     sinal positivo ( + )
                     
                    No caso do símbolo da adição está implícito, isto é, sem aparecer, temos:
                    +2 + 5 = +7;                     6 7 = 13;   ( sabemos que é uma adição mesmo sem aparecer o símbolo )
                    
                    Para sinais diferentes:
                    +3 + (5) = 2;                 +6 2 = +4;                        7 + 9 = +2.                       
                       
    Na subtração, basta eliminar o parênteses e passamos a ter uma adição.
                
            Ex.: (+4) (+2) = 4 2 = 2;             7 (5) = 7 + 5 = 12.
                    símbolo da subratção ( )    sinal negativo (   )     sinal positivo ( + )
     
    NAS DEMAIS OPERAÇÕES:  Em qualquer outra operação, basta contarmos os sinais NEGATIVOS ().
     
           Se a quantidade de sinais negativos for PAR dará POSITIVO (+) e se a quantidade de sinais negativos for ÍMPAR, dará NEGATIVO ().
     
            Ex.: (+2).(+7) = +14 (nenhum negativo, logo, um número par de negativos); 3.(4) = 12 (apenas um negativo, logo número ímpar de negativos); (12):(4) = +3 (número par de negativos); (2)3 = 8 (aqui, quem conta os negativos da base é o valor do expoente, logo, ímpar). Tal regra ainda pode ser utilizada na eliminação de parênteses, como foi realizada nos exemplos da operação de subtração: (4) = +4 (número par de negativos); (+3) = 3 (número ímpar de negativos).
     
                Uma justificativa para o qual o produto de dois números negativos dá positivo pode ser dada por: 
     
                Primeiro vamos lembrar que o produto de um positivo por um negativo é negativo: (3) . 2 = (3) + (3) = 6.
     
                (3) . (4) = ? Lembrando que (3) . 0 = (3) . [4 + 4] = 0, pela propriedade distributiva da multiplicação em relação a adição, temos (3) . (4) + (3) . 4 = 0 e daí, (3) . (4) 12 = 0 ou somando a ambos os membros, + 12, temos: (3) . (4) 12 + 12 = 0 + 12 ou ainda (3) . (4) = 12.

    Disponível em: http://hpdemat.vilabol.uol.com.br/Sinais.htm  

    terça-feira, 4 de maio de 2010

    Programa Régua e Compasso

    Olá moçada, segue link para baixar o programa "Regua e Compasso" ou simplesmente ReC.
    Não esqueçam, antes de instalar o programa, vocês tem que baixar e instalar o JAVA.


    http://pt.utilidades-utiles.com/download-c.a.r..html

    Link para o JAVA:
    http://www.java.com/pt_BR/download/manual.jsp#win
     

    segunda-feira, 3 de maio de 2010

    Quiz sobre matrizes

    Ola moçada, para quem gosta de quizzes, este é um pequeno teste sobre matrizes. Vejam como andam seus conhecimentos sobre matrizes.
    http://www.proprofs.com/quiz-school/story.php?title=introduo-ao-estudo-das-matrizes

    Abraços a todos!!
    Prof. Eugênio

    MATRIZES

    Olá pessoal, estive verificando e achei um vídeo muito legal sobre a conceituação a aplicações iniciais de matrizes. Vale a pena conferir!!

    O que são matrizes ?

    Matriz

    Podemos dizer que uma matriz é uma tabela com colunas (vertical) e linhas (horizontal). Então chamamos de matriz toda tabela m x n sendo que m e n podem assumir qualquer valor natural menos o zero. Sendo que m é o número de linhas e n o número de colunas.

    Para representar uma matriz devemos colocar as linhas e colunas entre parênteses, chaves ou entre duas barras duplas, veja alguns exemplos:




    Observe que em cada matriz dos exemplos acima tem ao lado indicando o número de linhas e o de colunas da matriz, o primeiro exemplo esta indicado 2 x 3 que lê assim a matriz é de ordem dois por três.
    E cada número pertencente a uma matriz é o seu elemento.

    Se pegarmos uma matriz qualquer de ordem m x n, como iríamos representá-la?
    Cada elemento de uma matriz pertence a uma linha e uma coluna. Dada a matriz de ordem 3 x 2:



    O elemento - 5 pertence a 1ª linha e a 1ª coluna.
    O elemento  2 pertence a 2ª linha e 2ª coluna.

    Para representarmos uma matriz de ordem 2 x 2 onde não temos seus elementos definidos, representamos da seguinte forma:



    a11 ; a21 ; a12 ; a22 são elementos da matriz de ordem 2 x 2 (duas linhas e duas colunas).

    Então o elemento a21 pertence a 2ª linha e 1º coluna.

    Exemplo:
    Escreva a matriz A = (ai j)2 x 3  tal que ai j = 2i + j.

    A matriz A é de ordem 2 x 3, então podemos escrevê-la assim:



    Agora os números que ocuparam o lugar de: a11, a21, a12, a22, a13 e a23, irão depender da equação dada no enunciado: ai j = 2i + j.
    Então iremos calcular cada elemento sabendo que:
    i é a linha que o elemento pertence.
    j é a coluna que o elemento pertence.

    a11 = 2 . 1 + 1              a21 = 2 . 2 + 1
    a11 = 3                          a21 = 5

    a12 = 2 . 1 + 2              a22 = 2 . 2 + 2
    a12 = 4                          a22 = 6

    a13 = 2 . 1 + 3              a23 = 2 . 2 + 3
    a13= 5                           a23 = 7

    Então os elementos que pertencem a matriz A são:

    Por Danielle de Miranda
    Graduada em Matemática
    Equipe Brasil Escola

    Hora da Diversão

    Video muito legal, Lady Gaga deve ter ficado com uma inveja danada...